多复变函数论笔记 - 第一章 全纯函数 - 第一节 复欧氏空间

复欧氏空间

定义

对 $𝑛\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{+}$，定义 $𝑛$ 个复平面的笛卡尔积为 $𝑛$ 维复数空间

其具有自然的 $𝑛$ 维复向量空间结构。${\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 上的标准 Hermite 内积为

该内积产生的范数 $\Vert 𝑎\Vert =⟨𝑎,𝑎⟩$ 诱导出了 ${\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 中的欧氏距离

为与一维复空间的 $\left|𝑧\right|=𝑧\overline{𝑧}$ 书写形式统一，对 $𝑧\in {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$，也记 $\left|𝑧\right|=\Vert 𝑧\Vert$。

与 ${\mathrm{ℝ}}^{2𝑛}$ 的联系

定义以 $𝑎\in {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 为圆心，$𝑟>0$ 为半径的开球为

设 $𝑧=\left({𝑧}_1,{𝑧}_2,\cdots ,{𝑧}_{𝑛}\right)\in {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$，记 ${𝑧}_{𝑗}={𝑥}_{𝑗}+𝑖{𝑥}_{𝑗+𝑛},{𝑥}_{𝑗},{𝑥}_{𝑗+𝑛}\in \mathrm{ℝ}$，则映射

是 ${\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 到 ${\mathrm{ℝ}}^{2𝑛}$ 的一个实线性同构，且对 ${\mathrm{ℝ}}^{2𝑛}$ 上的 L-2 范数有 ${\left|𝑓\left(𝑧\right)\right|}_2=\left|𝑧\right|$，所以 $𝑓\left(𝐵\left(𝑎,𝑟\right)\right)$ 为 ${\mathrm{ℝ}}^{2𝑛}$ 上以 $𝑓\left(𝑎\right)\in {\mathrm{ℝ}}^{𝑛}$ 为圆心，$𝑟>0$ 为半径的开球，即 ${\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 与 ${\mathrm{ℝ}}^{2𝑛}$ 拓扑同胚。

由此可将 ${\mathrm{ℝ}}^{2𝑛}$ 中的拓扑、分析的通常概念替换到 ${\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 中。

基础概念

开集

设 $𝐷\subset {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 为一点集，若 $\forall 𝑎\in 𝐷$，$\exists 𝑟>0$，使得 $𝐵\left(𝑎,𝑟\right)\subset 𝐷$，则称 $𝐷$ 为开集。

连通集

设 $𝐷\subset {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 为一点集，若 $𝐷$ 不能表示为两个非空开集之并，则称 $𝐷$ 是连通的。

区域

连通的开集。

相对紧子集

设 $\mathrm{\Omega }\subset 𝐷$ 为一子集，若其闭包 $\overline{\mathrm{\Omega }}\subset 𝐷$，则称 $\mathrm{\Omega }$ 为 $𝐷$ 的一个相对紧子集，记为 $\mathrm{\Omega }\subset \subset 𝐷$。

多圆柱

定义以 $𝑎=\left({𝑎}_1,\cdots ,{𝑎}_{𝑛}\right)\in {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 为圆心，$𝑟=\left({𝑟}_1,\cdots ,{𝑟}_{𝑛}\right)\left({𝑟}_{𝑗}>0,1\le 𝑗\le 𝑛\right)$ 为（多）半径的开多圆柱为

$$𝑃\left(𝑎,𝑟\right)=\left\{𝑧\in {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}:\left|{𝑧}_{𝑗}-{𝑎}_{𝑗}\right|<{𝑟}_{𝑗},1\le 𝑗\le 𝑛\right\},$$

其为 $\mathrm{ℂ}$ 中 $𝑛$ 个开圆盘的笛卡尔积。

多圆域

更一般地，称 $𝑛$ 个复平面区域 ${𝐷}_{𝑗}\in \mathrm{ℂ}\left(1\le 𝑗\le 𝑛\right)$ 的笛卡尔积 $𝐷={𝐷}_1\times \cdots \times {𝐷}_{𝑛}$ 为一个多圆域。

点集 $𝐴\subset {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 的拓扑边界记为 $\text{𝔟}𝐴$

绝对空间

称映射 $𝜏:{\mathrm{ℂ}}^{𝑛}\to {\mathrm{ℝ}}_{+}^{𝑛},𝑓\left(𝑎\right)=𝑓\left(\left({𝑎}_1,\cdots ,{𝑑}_{𝑛}\right)\right)=\left(\left|{𝑎}_1\right|,\cdots ,\left|{𝑎}_{𝑛}\right|\right)$ 为绝对空间，${\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 中点集在绝对空间下的像可更为方便地用几何表示。

容易画出 $𝜏\left(𝐵\left(0,𝑟\right)\right)$ 和 $𝜏\left(𝑃\left(0,\left({𝑟}_1,{𝑟}_2\right)\right)\right)$ 在绝对空间的图形如下

Hartogs 图形

当 $𝑛>2$ 时，为简化书写，通常记 $𝑧=\left({𝑧}^{\prime },{𝑧}_{𝑛}\right)$，其中 ${𝑧}^{\prime }=\left({𝑧}_1,\cdots ,{𝑧}_{𝑛-1}\right)\in {\mathrm{ℂ}}^{𝑛-1}$。

设 $𝑟=\left({𝑟}_1,\cdots ,{𝑟}_{𝑛}\right)$ 满足 $0<{𝑟}_{𝑗}<1,1\le 𝑗\le 𝑛$，定义区域

称 $\left(𝐻\left(𝑟\right),𝑃\left(0,1\right)\right)$ 这样的一个「对」为一个（欧式）Hartogs 图形。

$𝐻\left(𝑟\right)$ 的图形可表示如下

Reinhardt 域

注意对 $𝑟=\left({𝑟}_1,\cdots ,{𝑟}_{𝑛}\right)\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{𝑛}$ 而言，

是一个 $𝑛$ 维的实环面（$𝑛$ 个圆环的笛卡尔积）。因此有如下定义：

设 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 为一点集，若 $\forall 𝑎\in \mathrm{\Omega }$，环面

也落在 $\mathrm{\Omega }$ 内，则称 $\mathrm{\Omega }$ 是圆形的。在 ${\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 中，只有圆形点集的绝对空间表示才是有意义的。

设 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathrm{ℂ}}^{𝑛}$ 为以原点为中心的开圆形域，则称 $\mathrm{\Omega }$ 为 Reinhardt 域。若 $\mathrm{\Omega }$ 还满足 $\forall 𝑎\in \mathrm{\Omega }$，均有 $𝑃\left(0,𝜏\left(𝑎\right)\right)\subset \mathrm{\Omega }$，则称 $\mathrm{\Omega }$ 是完备的。$𝐵\left(0,𝑟\right)$ 和 $𝑃\left(0,𝑟\right)$ 是完备的 Reinhardt 域，但是 $𝐻\left(𝑟\right)$ 是不完备的 Reinhardt 域。

考虑全纯函数的洛朗级数展开时就会遇到 Reinhardt 域，$\mathrm{ℂ}$ 中典型的完备 Reinhardt 域是以原点为圆心的开圆盘，而典型的不完备 Reinhardt 域是以原点为圆心的圆环区域。